量子态不可克隆定理不成立的证明

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  —— 量子通讯无条件保密的物理学基础不发生 ——  

 梅晓春1       李小坚2  

(1)福州原创物理研究所                  (2)北方工业大学自动化系

  内容摘要 量子通信被认为具有绝对的保密性,它的物理学基础是“量子态不可一键一键复制定理”。本文证明你這個定理不成立,理由如下。1. 该定理假设任意量子态全是后要 一键一键复制的,证明原来量子态可一键一键复制的条件为,实际上认为量子态后要 一键一键复制,“量子态不可一键一键复制定理”名不符随便说说。本文进一步证明,发生无穷多的满足你這個有一有俩个条件,而且 “量子态不可一键一键复制定理”应当改为“量子态可一键一键复制定理”。2.表示有一有俩个正交的量子态后要 一键一键复制,对于的非正交态的请况,现有理论没人讨论,本文完整篇 讨论你這個请况。3. 考虑量子力学波函数的完备性,非正交态后要 按照厄密算符的本征态展开,本文证明对于任意本征态数的量子态,总后要 找到无穷多个非正交的波函数,使它们满足可一键一键复制的条件。4. 量子一键一键复制算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文证明,其根源在于量子一键一键复制算符的定义是自相矛盾的。它不改变任意波函数的形式,却后要 将纯态波函数变打上去任意波函数,原来的算符不而且 发生。5. 量子态一键一键复制的真正大问题没了于理论上是否是才能一键一键复制,而在于一键一键复制过程中线性叠加态不可输入和不可输出,你這個不而且 性与“量子态不可一键一键复制定理”的证明无关。6. 极少量实验证明,微观粒子的单量子态全是后要 一键一键复制的,说量子态不可一键一键复制毫无道理。7.在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方输入和输出的全是光子的单个偏振态,它们全是后要 一键一键复制的。由此本文的结论是,“量子态不可一键一键复制定理”是有一有俩个概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题。建立在你這個定理的基础上,量子通讯所谓的无条件保密性根本不发生。

  关键词 量子力学,量子通讯,一键一键复制算符,量子态不可一键一键复制定理,BB84协议

  一. 量子通讯与“量子态不可一键一键复制定理”

  量子通信被认为具有绝对的保密性,其物理学基础是所谓的“量子态不可一键一键复制定理”。Wootters和Zurek 1982年在《Nature》上发表文章,提出你這個著名的定理【1】。然而仔细考察该定理的证明过程和结论,作者发现发生而且 大问题。“量子态不可一键一键复制定理”实际上不成立,量子通信的绝对保密性的物理学基础是不发生的。

  从“量子态不可一键一键复制定理”的证明过程后要 看出,该定理的前提是假定任意量子态都后要 一键一键复制。而且 给出另外有一有俩个量子态后要 一键一键复制的条件为,不满足这有一有俩个条件的态才是不可一键一键复制的。代表有一有俩个态正交,表示有一有俩个态不正交,它们全是后要 一键一键复制的。而且 “量子态不可一键一键复制定理”名不符随便说说!本文进一步证明,按照Wootters和Zurek的一键一键复制算符定义,对于任意量子态,发生无穷多的满足的条件。对于的请况,现有理论认为它是因为分析,是有一有俩个平庸解,没人讨论价值。本文指出随便说说是因为分析,并对你這個请况进行完整篇 讨论。考虑量子力学厄密算符本征函数的完备性,任意定态波函数都后要 表示为厄密算符本征态波函数的叠加。本文证明对于叠加态数目的波函数,总后要 找到无穷多个与不正交的,使它们满足的可一键一键复制条件。而且 “量子态不可一键一键复制定理”实际上应当改成“量子态不可一键一键复制定理”。

  而且 文献又把该定理称为“未知量子态不可一键一键复制定理”,然而对哪些地方是未知的量子态,却没人明确的说明【2】。事实上,“未知量子态不可一键一键复制定理”的说法在字面上只是有大问题的,而且 有一有俩个量子态是未知的,谁能谁能告诉我原型和模板,又为社 会 才能一键一键复制呢?比如对于叠加态,而且 已知,你這個态就已知。而且 任意,你這個态就未知。要一键一键复制你這個态首先必须知道。这是先决条件,未知态不可一键一键复制的说法毫无意义。事实上如本文证明,按照Wootters对一键一键复制算符的定义,即使未知,仍刚刚要 找到无穷多的,使之满足的条件,而且 “未知量子态不可一键一键复制定理”的说法也是不成立的。

  将量子一键一键复制算符对波函数叠加态作用,会是因为自相矛盾的结果。本文指出其根源在于量子一键一键复制算符的定义是自相矛盾的。将量子态一键一键复制算符作用在任意波函数上,其形式不变。将你這個算符作用在有一有俩个纯态上,却后要 将它变成任意波函数,原来的算符是不发生的。事实上量子一键一键复制算符只是有一有俩个抽象符号,没人具体形式。而且 其定义是自相矛盾的,在数学上根本不而且 找到它的具体形式。而在量子力学中,任何算符都必须有它的具体形式。

  事实上,量子态一键一键复制的真正大问题没了于理论上是否是才能一键一键复制,而在于一键一键复制过程咋样输入和输出线性叠加态。按照量子力学的测量理论,测量是因为波函数崩塌。量子态一键一键复制过程首先必须输入量子态,而输入过程也后要 看成并是否是测量操作。而且 量子叠加态是不可输入的,而且 一旦进行操作,叠加态就会被破坏。在你這個意义上,谈论线性叠加态的一键一键复制是没人意义,但它与“量子态不可一键一键复制定理”的证明无关。

  在实验方面,“量子态不可一键一键复制定理”显然与事实不符。极少量实验证明,微观粒子的单量子态全是后要 一键一键复制的。激光器不但才能一键一键复制单个光子,而且 才能大批量地一键一键复制各种光子。连续光谱激光器不但后要 一键一键复制并是否是单光子,而且 后要 通过调整参数,来极少量一键一键复制各种各样的光子。在物理学中,量子态的制备早就而且 是有一有俩个相当心智心智成熟 图片 图片 图片 的学科。

  在量子通讯是实际操作过程中,信息发送方和接受方每次输入和输出的全是光子的单个偏振态,而全是所谓的线性叠加态,它们全是后要 一键一键复制的。然而“量子态不可一键一键复制定理”给人的一般印象却是,任何量子态全是可一键一键复制,这是不真实的。

  实际量子态的一键一键复制涉及相互作用,是有一有俩个非常简化的过程,全是用Wootters定义的你這個简单算符就能表示的。“量子态不可一键一键复制定理”是有一有俩个概念含糊、矛盾重重、完整篇 错误的命题,不但毫无意义,而且 严重误导物理学理论和量子技术的发展。

  而且 本文的结论是,“量子态不可一键一键复制定理”不成立,量子通讯所谓的具是否是条件保密性的物理学基础不发生。

  二.“量子态不可一键一键复制定理”的证明

  “量子态不可一键一键复制定理”的证明随便说说非常简单,以下介绍P. Yuen 和 M. D′Ariano 的推广证明【2】。 假设作为待一键一键复制模板的粒子发生任意态,另外有一有俩个粒子发生标准的纯态。Wootters和Zurek引入有一有俩个一键一键复制量子态的幺正算符,它对的作用是:

至于的具体形式咋样,Wootters没人说明,必须根据具体的请况选用。与图片复印的过程比较,算符离米 复印机,离米 要复印的图片,离米 白纸。

  采用相同的纯态,将一键一键复制算符对另外有一有俩个任意态作用,按照(1)式全是:

将(2)和(3)式的两边取内积,得:

考虑到,从上式得到:

(4)式有有一有俩个解,。而且 这有一有俩个条件满足,就后要 一键一键复制。而且 不满足,就不可一键一键复制。现有理论讨论了的请况,对的请况没人讨论,本文重点对的请况进行讨论。

  以上证明的前提是,假定任意量子态后要 一键一键复制。即发生有一有俩个算符,后要 把纯态变成态,而且 讨论在哪些地方请况下后要 一键一键复制的大问题。是因为分析正交态是后要 一键一键复制的,用通俗的语言说,假设有一台量子一键一键复制机,它才能一键一键复制 态,就一定才能一键一键复制与态正交的态,但必须一键一键复制与不正交一块儿又有的态。

  而且 按照你這個证明,量子态全是不后要 一键一键复制,只是有选用性地一键一键复制。对于不同的量子态,必须不同的一键一键复制机,另一个人后要 制造不同的一键一键复制机,来一键一键复制不同的量子态。而且 所谓的“量子态不可一键一键复制定理”名不符随便说说,实际上应当改成“通用量子态一键一键复制机不发生定理”。

  三.“量子态不可一键一键复制定理”不成立的证明

  3. 1 量子态一键一键复制算符在数学上不成立

  按照(2)式的定义,一键一键复制算符对波函数的作用满足以下关系:

这是因为分析不改变任意波函数,即,但却后要 将纯态波函数变成,即是因为分析是不变算符,即。而且 也是任意的,与后要 完整篇 不一样,是因为分析全是不变算符,应当将写为:

而且 ,全是,而且 量子一键一键复制算符的定义自相矛盾,是不而且 发生的。

  另一个人后要 举有一有俩个具体的例子。假设要一键一键复制氢原子的第一激发态,有一有俩个合理的做法只是,把氢原子的基态波函数看成是纯态,即令。它们的具体形式是:

而且 式正交的,按照(2)的定义,是后要 一键一键复制的,一键一键复制过程是:

显然不而且 找到有一有俩个算符,能使 一块儿成立,而且 (8)式不而且 成立。

  事实上,量子力学波函数的数学形式都比较简化。要将有一有俩个纯态波函数变成另外有一有俩个波函数保持不变,又后要 将任意纯态波函数变成态波函数。在你這個算符基础上证明“量子态不可一键一键复制定理”是没人意义的。

  3. 2 量子态一键一键复制算符在物理上不成立的例子

  一般而言,(1)式在物理上也而且 不成立。举有一有俩个简单例子,氢原子的跃迁过程满足而且 禁戒规则,比如角量子数和磁量子数必须满足。而且 从基态到诸如的激发态是不而且 的。然而是正交的,按照(4)式,令的态是后要 一键一键复制的。

  事实上,量子态的一键一键复制是有一有俩个非常简化的大问题,根本不而且 通过(1)式那样简单定义,以及(4)式那样简单的结果就能判断的。建立在Wootters定义的一键一键复制算符的基础上的,所谓的“量子态不可一键一键复制定理”毫无意义。

  3. 2 发生无穷多的可一键一键复制非正交态

  以下证明对于,仍刚刚要 有。按照(4)式,你這個非正交态仍刚刚要 一键一键复制。量子力学用厄密算符代表力学量,将它作用于波函数的某个定态,得到:

常数被称为本征值。量子力学厄密算符有以下有一有俩个基本性质【3】:

  1. 厄密算符具有选用本征值的本征函数发生正交性。设对应的本征值互不相等,则有

  2. 厄密算符本征函数具有完备性。数学上后要 严格证明,任意量子力学定态波函数都后要 表示为厄密算符本征态波函数的叠加,即:

  按照以上有一有俩个性质,另一个人来重新讨论“量子态不可一键一键复制定理”的证明。将系统的任意有一有俩个波函数写成为:



 

考虑到波函数的归一化,展开系数满足条件:

将(12)式代入(4)式,得:

而且 ,(13)式变成:

要使(14)式成立,必须:

或:

(15)式表示正交,(16)式表示不正交。比如时,考虑到系数而且 是复数,(15)实际上应当写成:

假设已知,则已知。上式剩余有一有俩个方程,有有一有俩个未知数,唯一选用。解方程得。而且 对于的请况,对于任意波函数,总后要 找到另外有一有俩个波函数与它正交。按照Wootters对一键一键复制算符的定义,它们全是后要 一键一键复制的。

  对于的请况,(15)式变为:

假设已知,则已知。上式剩余有一有俩个方程,选用有一有俩个未知数,全是无穷多种最好的办法。也只是说对于,后要 是否是穷多个与之正交,因而通用量子态一键一键复制机发生。

  对于不正交,的请况,时,(14)式变成:

假设已知,已知。从剩余的有一有俩个方程解得,而且 必须才而且 。是因为分析你這個态后要 一键一键复制,但一台一键一键复制机必须一键一键复制有一有俩个量子态。

  对的请况,比如,(18)式变成:

假设已知,,则已知。上式剩余的有一有俩个方程,选用有一有俩个未知数,原则上是否是穷多个解。而且 它们都才能满足(4)和(16)式,按照定义全是后要 一键一键复制的。

  以下举有一有俩个具体例子,比如,从第有一有俩个式子得到。选用,按照(20)式,可得以下波函数:

这有一有俩个波函数是非正交的,但仍然满足可一键一键复制条件,后要 用同一台一键一键复制机一键一键复制。

  任意选用的值,后要 得到任意多个,都能满足(16)式。由此证明在的请况下,“量子态不可一键一键复制定理”不成立。另一个人总后要 找到无穷多的,使它们满足可一键一键复制的条件。

  3. 3 一键一键复制算符作用于线性叠加态是因为矛盾

  按照Wootters的证明,线性叠加态是后要 一键一键复制的。在(4)式的导出过程中,后要 是单态,也后要 是叠加态。然而对于叠加态,按照(1)式的定义会产生矛盾。以叠加态为例,将一键一键复制算符作用其上,后要 得到并是否是结果。第并是否是是一键一键复制算符先对单个态作用,即:

第二种一键一键复制算符只对整个叠加态作用,即:

(23)和(24)式相互矛盾。文献【4】认为(23)式是后要 实现的,理由是基矢后要 一键一键复制的。(24)式则是不可实现,但没人说明是因为。

  你這個看法随便说说很重道理,但没人找到大问题的本质。而且 按照一键一键复制算符的定义,以上并是否是计算最好的办法全是合理的。另一个人必须说哪并是否是对哪并是否是错,从逻辑上也后要 认为(24)式没人错。事实上,(11)、(21)和(22)式全是叠加态,按照前文对(4)式的讨论,它们全是后要 一键一键复制的。

  以下来讨论(24)式不而且 成立的是因为。后要 将(24)式看成一键一键复制算符作用在波函数上得到的新的波函数,令:

考虑到波函数是不可测量的,才能测量的是波函数的平方,全是:

可见按照(24)式,新的波函数的归一性被破坏。然而按照量子力学,对波函数进行变换是不而且 改变归一性的。事实上将(23)式进行同样的变换,新的波函数归一性仍然发生。产生大问题的本质是因为在于,如前文所述,一键一键复制算符的定义(1)式并是否是只是矛盾的。你這個矛盾必然要在具体过程中体现出来,对波函数叠加态的作用只是有一有俩个例子。

  四.波函数的线性叠加态不可输入和不可输出

  讨论线性叠加态的一键一键复制大问题,必须先了解线性叠加态的真内外部理意义。量子力学好有一有俩个统计理论,对于叠加态,量子力学的几率统计解释认为,叠加态由有一有俩个态组成,冒出的几率是态冒出的几率是。它并不是因为分析有一有俩个态后要 一块儿冒出,只是认为在任意时刻只冒出其中的有一有俩个态。

  比如对于氢原子中的有一有俩个电子,它不而且 一块儿即发生基态,又发生第一激发态。这有一有俩个请况发生能量差,从基态进入激发态是必须能量输入的。另一个人不而且 一块儿一键一键复制氢原子的这有一有俩个态,必须一键一键复制其中的有一有俩个态。在你這個意义上,谈论线性叠加态的一键一键复制并是否是只是没人意义的。

  而且 按照量子力学的哥本哈根解释,即所谓的量子力学测量理论,对线性叠加态(8)进行测量,会使波函数崩塌到其中的有一有俩个态。比如对于叠加态,任何单次测量必须得到其中的有一有俩个态,不而且 一块儿得到有一有俩个态,这与量子力学的统计解释结果是一样的。

  而且 量子态一键一键复制真正的大问题在于,波函数的线性叠加态即无法输入也无法输出。从实际操作的淬硬层 ,为了才能一键一键复制有一有俩个量子叠加态,首先必须进行测量,以了解你這個态的请况。一键一键复制过程必须输入和输出量子态,而输入和输出也后要 看成是并是否是测量。而且 测量是因为叠加态的崩塌,量子叠加态的输入和输出自然是不而且 的。

  在实际的过程中,量子态的一键一键复制涉及简化的相互作用,全是用(1)式那样简单的算符就能表示。所谓的“量子态不可一键一键复制定理”发生太大的大问题,实际上不成立。考虑到单个量子态实际上全是后要 用一键一键复制的,另一个人应当说:

  量子力学定态波函数(8)式中,任何具有选用本征值的单态全是可一键一键复制的。对量子定态波函数的叠加态,每一次一键一键复制将得到其中的有一有俩个单态,多次一键一键复制结果得到态的几率为

  必须原来理解,才能与量子力学的统计性质和实际物理过程一致。

  五.结论:哥本哈根解释误导量子技术

  Wootters的定义一键一键复制算符并是否是只是自相矛盾的。将一键一键复制算符作用在任意波函数上,该波函数变成不变。作用在任意纯态波函数上,却后要 将变成任意。你這個自相矛盾的算符在数学上是不而且 发生的,是因为“量子态不可一键一键复制定理”成为有一有俩个含糊不清,充满矛盾和错误的命题。

  按照Wootters对一键一键复制算符的定义,满足的量子态全是后要 一键一键复制的。而在实际的过程中,满足这有一有俩个条件的量子态却并必须够一键一键复制。而且 “量子态不可一键一键复制定理”不发生。

  而且 考虑量子力学波函数的完备性,任意波函数都能写成本征态波函数的叠加。对于本征态数的任意量子力学波函数,总后要 找到有一有俩个波函数与它正交。对于的任意量子力学波函数,除了后要 找到无数的波函数与它正交外,还后要 找到无数个波函数,使它们的积分满足。而且 “量子态不可一键一键复制定理”实际上应当称为“量子态可一键一键复制定理”。

  将一键一键复制算符作用到量子叠加态,会是因为矛盾的结果。这并不是因为分析叠加态不可一键一键复制,只是一键一键复制算符的定义并是否是有大问题。量子态一键一键复制的真正大问题在于,叠加态的输入和输出是不而且 的,你這個不而且 性与Wootters的证明无关。

  在本文初稿完成后,作者看了中科院理论所孙昌璞院士的一篇文章,题目为“量子力学的诠释大问题”【5】。该文文摘中说:“对于量子力学的诠释…另一个人迄今为止并未形成共识。量子力学发展的你這個二元请况不仅带来认识论方面的误导,而且 最好的办法备受争议的哥本哈根诠释建立的量子技术会有相对根本性的大问题”,物理学家必须“通过进一步澄清量子力学诠释中的基本概念,补救量子观念的滥用是因为的认识论上的大问题和量子技术误入歧途”。

  作者非常认同孙昌璞先生的你這個看法。早期的量子力学哥本哈根解释纯粹是有一有俩个科学哲学大问题,但现在它而且 全是纯理论大问题。它而且 越界进入技术领域,而且 深入地影响到量子技术,严重地误导了量子技术的发展和应用。从对贝尔不等式的实验检验,到量子通信和量子计算机,到处都后要 看了哥本哈根解释的误导带来的恶果。

  哥本哈根解释有有一有俩个奇怪的说法,即有一有俩个量子态在没人被测量刚刚另一个人对它哪些地方只是能说。它是发生叠加态,而全是选用态。波尔有句名言:有一有俩个大问题在没人被观察刚刚必须说是有一有俩个大问题。具体地说,对于有一有俩个自旋为的粒子,在没人进行测量刚刚,必须说它的自旋为。而且 按照波函数的叠加公式,它或许而且 发生态。再比如对于有一有俩个水平偏振的光子,在没人被测量刚刚,另一个人必须说它是水平偏振的,而且 按照波函数的线性叠加公式,它而且 是垂直偏振。你這個看法与实际完整篇 不符,它而且 破坏物理守恒规律,是因为荒诞的结果。

  比如甲向乙发射有一有俩个自旋为粒子,乙方接受到的一定是有一有俩个自旋为的粒子。而且 角动量守恒,粒子的自旋在运动过程中是不而且 改变的。同样,甲向乙发射有一有俩个水平偏振的光子,而且 乙用水平偏振器测量,你這個光子全是通过,说明你這個光子的偏振在运动过程中没人改变。是因为是光的偏振方向只是电场振动方向,光在真空中的传播时电场的方向不用改变。而且 用非水平偏振器来测量,光子以一定的概率通过。是因为是偏振器使光子的电场方向改变,而全是该光子没人选用的偏振。

  按照量子力学的统计系综解释,波函数是极少量粒子的统计平均结果。比如代表量子系综,代表系综里的有一有俩个系统。在任意时刻,量子体系要么发生态,要么发生请况,不而且 即发生请况又发生请况,只是而且 一块儿发生态。而且 这并是否是解释是等价的,只是说法不同罢了。按照系综理论,谈论量子力学线性叠加态的一键一键复制也是没人意义。

  事实上,量子通讯中光子的发射方发射的全是单量子态,不而且 是叠加态。接收方接收到的也是单量子态,不而且 是叠加态。“量子态不可一键一键复制定理”是有一有俩个完整篇 不靠谱的理论,它把一键一键复制过程用有一有俩个没人简单的算符来描述,不涉及任何相互作用,与实际过程完整篇 不符。在真实的物理学中,要一键复制有一有俩个量子态涉及简化的相互作用。绝不像复印一张图片一样,把原稿贴到 去复印机,一按键盘就了事。在哪些地方地方基本大问题没人搞清楚刚刚,就声称量子态不可一键一键复制。甚至明明知道单量子态和正交态后要 一键一键复制,明明知道激光器只是光子一键一键复制机,却仍然声称量子态不可一键一键复制,是非常荒唐的。

  现有的量子信息理论建立在哥本哈根解释基础上,认为测量刚刚微观粒子后要 一块儿发生多重请况,用测量是因为波函数崩塌来解释一切。以你這個完整篇 错误的理论为基础,技术开发必然是因为失败。物理学家们耗尽资源和精力,最终都将无功而返。量子通信是有一有俩个典型的例子,声称量子通讯具有绝对的保密性,把人类保密通讯原来重要的事情寄托在你這個完整篇 不靠谱的定理之上,并草率地把量子通讯进行产业化,是对科学和社会不负责任的行为。

  量子计算机则而且 是另外有一有俩个例子,正是考虑到量子态的线性叠加,才有计算加速的而且 。按照量子力学的统计系综解释,任好久刻有一有俩个微观粒子必须发生某个选用的请况,不而且 发生叠加态,线性叠加只是并是否是统计平均的表示最好的办法。按照量子力学的测量理论,任好久刻有一有俩个微观粒子后要 发生叠加态,但测量是因为波函数崩塌。而且 叠加态既必须输入只是能输出,量子计算机就而且 是有一有俩个空头理论上的东西,在现实中难以实现。你這個大问题类事与量子计算机的消相干大问题,但又有不同。从技术上说消相干是而且 的,但叠加态的输入和输出是不而且 的。这是量子力学基本原理决定的,对测量输入输出叠加态的技术能力的限制。

  目前物理学家声称而且 做出量子计算机,而且 全是真正的量子叠加态计算机,是值得考虑的。另一个人而且 只是利用微观粒子的有一有俩个分立请况做成的,与传统电子计算机在本质上是一样的计算机。它只是对传统电子计算机的模拟,而全是真正利用了叠加态,才能进行叠加态并行计算的量子计算机。只是量子计算机专家而且 还没人认识到你這個点,而且 说而且 人知道你這個点,但想要要说出来罢了。关于你這個大问题,作者将另文讨论。

  参考文献

  1. W. K. Wooters, W. H. Zurek, A single quantum can not be cloned, Nature, 1982, 299,2002-2003.

  2. 尹浩,韩阳等,量子通讯原理和技术,电子工业出版社,2013,p.54.

  3. 周世勋,量子力学,复旦大学出版社,1961, p. 337.

  4. 张永德,量子信息物理原理,科学出版社,2006年,p. 187.

  5. 孙昌璞, 量子力学的诠释大问题,物理,2017年,46卷,8期,p.481~ 496.